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By Helga Baum

Dieses Lehrbuch bietet eine Einführung in die Differentialgeometrie auf Faserbündeln. Nach einem Kapitel über Lie-Gruppen und homogene Räume werden lokal-triviale Faserungen, insbesondere die Hauptfaserbündel und zu ihnen assoziierte Vektorbündel, besprochen. Es folgen die grundlegenden Begriffe der Differentialrechnung auf Faserbündeln: Zusammenhang, Krümmung, Parallelverschiebung und kovariante Ableitung. Anschließend werden die Holonomiegruppen vorgestellt, die zentrale Bedeutung in der Differentialgeometrie haben. Als Anwendungen werden charakteristische Klassen und die Yang-Mills-Gleichung behandelt. Zahlreiche Aufgaben mit Lösungshinweisen helfen, das Gelernte zu vertiefen.

Das Buch richtet sich vor allem an Studenten der Mathematik und Physik im Hauptstudium und stellt mathematische Grundlagen bereit, die in Vorlesungen zur Eichfeldtheorie in der theoretischen und mathematischen Physik Anwendung finden.

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The geometry of physics : an introduction

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9. Das Reperb¨ undel einer Mannigfaltigkeit. n Sei M eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit, GL(M )x := {vx = (v1 , . . , vn ) | vx Basis in Tx M } die Menge der Basen in Tx M und . GL(M )x GL(M ) := x∈M die disjunkte Vereinigung dieser Mengen von Basen. Die Projektion π : GL(M ) −→ M ist durch π(vx ) := x gegeben. Die Gruppe GL(n, R) wirkt von rechts auf der Menge GL(M ) durch (v1 , . . , vn ) · A := ( vi Ai1 , . . , i vi Ain ) , A = (Aij ). i Diese Wirkung ist fasertreu und einfach transitiv auf den Fasern.

4. Sei G eine Lie-Gruppe und π : P −→ M eine glatte Abbildung. Das Tupel (P, π, M ; G) heißt G-Hauptfaserb¨ undel u ¨ber M , falls gilt: 1. G wirkt von rechts als Liesche Transformationsgruppe auf P . Die Wirkung ist fasertreu und einfach transitiv auf den Fasern. aquivarianten B¨ undelkarten, 2. , es gilt a) φi : π −1 (Ui ) −→ Ui × G ist ein Diffeomorphismus. b) pr1 ◦ φi = π. c) φi (p · g) = φi (p) · g f¨ ur alle p ∈ π −1 (Ui ) und g ∈ G, wobei G auf Ui × G durch (x, a) · g = (x, ag) wirkt. Wir geben zwei weitere ¨ aquivalente Beschreibungen f¨ ur Hauptfaserb¨ undel an, die oft n¨ utzlich sind, wenn man pr¨ ufen will, ob ein Hauptfaserb¨ undel vorliegt.

C) φi (p · g) = φi (p) · g f¨ ur alle p ∈ π −1 (Ui ) und g ∈ G, wobei G auf Ui × G durch (x, a) · g = (x, ag) wirkt. Wir geben zwei weitere ¨ aquivalente Beschreibungen f¨ ur Hauptfaserb¨ undel an, die oft n¨ utzlich sind, wenn man pr¨ ufen will, ob ein Hauptfaserb¨ undel vorliegt. Zun¨ achst kann man die Trivialisierungen durch lokale Schnitte ersetzen. 4 Sei G eine Lie-Gruppe und π : P −→ M eine glatte Abbildung. Das Tupel (P, π, M ; G) ist genau dann ein G-Hauptfaserb¨ undel, wenn gilt: 1. G wirkt von rechts als Liesche Transformationsgruppe auf P .

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