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Download Lehrbuch der Mathematischen Physik: Band 3: Quantenmechanik by Walter Thirring PDF

By Walter Thirring

In der Quantentheorie werden Observable durch Operatoren im Hilbert-Raum dargestellt. Der dafür geeignete mathematische Rahmen sind die Cx - Algebren, welche Matrizen und komplexe Funktionen verallgemeinern. Allerdings benötigt guy in der Physik auch unbeschränkte Operatoren, deren Problematik eigens untersucht werden muß. Dementsprechend werden zunächst mathematische Fragen studiert und dann die Methoden auf atomare Systeme angewandt. Obgleich guy außer dem Wasserstoffatom kaum explizit lösbare Probleme findet, lassen sich nicht nur allgemeine qualitative Fragen, etwa bezüglich des Energiespektrums und Streuverhaltens, beantworten, sondern auch quantitativ kann guy auch für kompliziertere Systeme für meßbare Größen Schranken teils befriedigender Genauigkeit finden. Inhaltsverzeichnis: Einleitung: Die Struktur der Quantentheorie; Größenordnungen atomarer Systeme.- Die mathematische Formulierung der Quantenmechanik: Lineare Räume; Algebren; Darstellungen im Hilbertraum; Einparametrige Gruppen; Unbeschränkte Operatoren und quadratische Formen.- Quantendynamik: Das Weyl-System; Der Drehimpuls; Die Zeitentwicklung; Der Limes t ; Störungstheorie; Stationäre Streutheorie.- Atomare Systeme: Das Wasserstoffatom; Das H-Atom in äußeren Feldern; Heliumartige Atome; Streuung am einfachen Atom; Komplexe Atome; Kernbewegung und einfache Moleküle.

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Sei nun Za die konvexe Menge der Zustande mit f(a-a) = lIa11 2 • Ihre Extremalpunkte fe sind reine Zustande, denn ware fe = Afl + (1- A)h, 0 < A < 1, hat ten wir IIall 2 = Afl (a"a) + (1- A)h(a*a) ~ fi(a"a) = lIall 2 und fe ware nicht extremal in Za. 4. Positive lineare Funktionale konnen noch den Schonheitsfehler haben, daB sie nicht mit Supremumsbildung beziiglich der Teilordnung ~ vertauschen. 1st etwa v(n) = (1,1, ... , 1, 0,0, .. 19,3) f(v(n») = 0, aber n-te Stelle v:= sup v(n) n = (1,1,1, .

7) (Aufgabe 5). 4. Wie der Name Spektrum sagt, stellen die Spektralwerte E C in einem gewissen Sinn das Element der Algebra dar, sie sind die moglichen Werte, die es annehmen kann. 18) des Elements bilden. 16) Auf A sei eine Teilordnung a 2: b durch a - b = positiv definiert. 17) 1. 15,4) die Summe zweier positiver Elemente wieder positiv ist. Daher gilt a 2: b und b 2: c => a 2: c und es folgt aus a 2: 0 und -a 2: 0, daB a = 0, da 0 das einzige hermitische Element mit Sp(a) = {O} ist, und weiters a 2: b und b 2: a => a = b.

Die mathematische Formulierung der Quantentheorie 50 8. Zeige, daB £ in B(H) stark dieht liegt. (Verwende, daB jeder Vektor flir £ zyklisch ist. ) 9. c. = 0'. = leer, O'ess = {o}. 10. 19). 11. h. es gibt einen Operator s, so daB a ~ 8 Va E Fund a ~ 8 ' Va E F,* 8 ~ 8 ' . S ist eindeutig und liegt im starken AbschluB von F. 25) 1. (iii),*(ii): Es sei x i= O. Der von den 1r(a)x, a E A, aufgespannte abgeschlossene Unterraum ist stabil fiir alle 1r(a), daher identisch mit ganz H. (ii),*(iii): Es sei H' ein abgeschlossener invarianter Teilraum (i= 0) C H, x E H'.

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