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By Luigi Bianchi

Esaurita l. a. seconda edizione (1902-1909) del presente trattat, in questa terza edizione del libro ho cercato di apportare, nelle singole parti, quelle modificazioni e quei perfezionamenti che i più recenti progressi della teoria mi hanno consigliato. in line with altro il contenuto essenziale dell'opera è rimasto il medesimo, e sempre liminato alla geometria metrica infinitesimale nell'antico senso. Tutte le teorie contenute nei tre volumi con parziali rimaneggiamenti nell'ordine dei capitole soppressioni ed aggiunte.

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9. Das Reperb¨ undel einer Mannigfaltigkeit. n Sei M eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit, GL(M )x := {vx = (v1 , . . , vn ) | vx Basis in Tx M } die Menge der Basen in Tx M und . GL(M )x GL(M ) := x∈M die disjunkte Vereinigung dieser Mengen von Basen. Die Projektion π : GL(M ) −→ M ist durch π(vx ) := x gegeben. Die Gruppe GL(n, R) wirkt von rechts auf der Menge GL(M ) durch (v1 , . . , vn ) · A := ( vi Ai1 , . . , i vi Ain ) , A = (Aij ). i Diese Wirkung ist fasertreu und einfach transitiv auf den Fasern.

4. Sei G eine Lie-Gruppe und π : P −→ M eine glatte Abbildung. Das Tupel (P, π, M ; G) heißt G-Hauptfaserb¨ undel u ¨ber M , falls gilt: 1. G wirkt von rechts als Liesche Transformationsgruppe auf P . Die Wirkung ist fasertreu und einfach transitiv auf den Fasern. aquivarianten B¨ undelkarten, 2. , es gilt a) φi : π −1 (Ui ) −→ Ui × G ist ein Diffeomorphismus. b) pr1 ◦ φi = π. c) φi (p · g) = φi (p) · g f¨ ur alle p ∈ π −1 (Ui ) und g ∈ G, wobei G auf Ui × G durch (x, a) · g = (x, ag) wirkt. Wir geben zwei weitere ¨ aquivalente Beschreibungen f¨ ur Hauptfaserb¨ undel an, die oft n¨ utzlich sind, wenn man pr¨ ufen will, ob ein Hauptfaserb¨ undel vorliegt.

C) φi (p · g) = φi (p) · g f¨ ur alle p ∈ π −1 (Ui ) und g ∈ G, wobei G auf Ui × G durch (x, a) · g = (x, ag) wirkt. Wir geben zwei weitere ¨ aquivalente Beschreibungen f¨ ur Hauptfaserb¨ undel an, die oft n¨ utzlich sind, wenn man pr¨ ufen will, ob ein Hauptfaserb¨ undel vorliegt. Zun¨ achst kann man die Trivialisierungen durch lokale Schnitte ersetzen. 4 Sei G eine Lie-Gruppe und π : P −→ M eine glatte Abbildung. Das Tupel (P, π, M ; G) ist genau dann ein G-Hauptfaserb¨ undel, wenn gilt: 1. G wirkt von rechts als Liesche Transformationsgruppe auf P .

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